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人生初の数学の問題 [戯言]

XX年前の今頃の話です。

中学校へ入学し、最初の数学の授業でのことです。
(小学校は算数だったので、これが始めての数学の授業です)

自己紹介を終えた数学教師が、こんなことを言い出しました。

「今から言う問題が解けたら、3年間 数学の授業は出なくても良い」

1数学教師に、そんな権限などあるわけも無く、当然絶対解けないと思っての発言なのでしょうが、クラス全員がリアル来ヶ谷唯湖を目指して知恵を絞ったわけです(当時、来ヶ谷唯湖は存在していません)。

ちなみに、現在でも答えはさっぱり分かりません。


【問】

平らな床の上に円柱を置きます。これを1回転するように転がすと、移動距離が円柱の円周と同じ長さになります。
コレについては特に問題ありません。

次に、転がした円の内側に同心円を描いて、同じ様に転がします。

ここで、
内側の円に接する架空の地面を想定すると、内側の円は架空の地面を転がった様に見えます。

『1回転後の移動距離が円周』だとすると、外側の円と内側の円は同じ距離を移動しているので、

内側の円と外側の円の円周の長さは同じだよね。

異議があるなら、その理由を言ってみろ。


と、まぁ、こんな感じの問題でした。

小学校で、円周の長さは「直径×3.14」と習っていたので、異議はありまくりです。
そして、おかしい所も(多分)分かっているのです。

「内側の円は架空の地面を転がった様に見える」って部分が、そう「見える」だけであった実際に転がったわけじゃないので、移動距離=円周が成り立たない

…ってことだと思うのですが、それをどうやって数学的に説明したらいいのかが分かりませんでした。

当時のクラスメート達も「だって、内側の円は地面を転がってないじゃん」と答えていたのですが、「なぜ転がっていないと言い切れる?見ての通り、(架空の)地面を転がっているじゃないか」と返されては、「え?、え?、え?」という状態です。
(他にも「架空の地面は、所詮架空の地面だから」と答えた人もいました。だから何だ。)

結局、数学教師の思惑通り、クラスメート全員、3年間数学の授業を受ける事になったわけです(それが普通とも言う)。
数学教師にとっては、ちょっとした雑談程度だったのだろうけど、これで数学嫌いになった奴が何人か居たんじゃないかと不安になります。


ところで、

この問題が解けたら、田舎に帰って幼馴染と結婚するんだ。

と、人生最初の数学の問題が、人生最後の数学の問題になる様なフラグを立ててみる。


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コメント 5

NO NAME

面白い問題ですね。一見してその通りだ、と思いつつも矛盾に気づける、と。
この教師がどんな回答を期待していたのかわかりませんが、「1回転後の移動距離が円周」という命題が偽だから、その後の「内側の円と外側の円の円周の長さは同じ」という命題も偽である。
というのはどうでしょうか。
命題の真偽は高校レベルの発想なので、3年間授業を受けないで良いという主張にもつながる気がします。
by NO NAME (2012-04-22 04:49) 

ねぎ

 内側の円と外側の円の円周の長さは同じかだから、
外直径×π ≠ 内直径×π
 これだけのことかなぁ。 
by ねぎ (2012-05-22 00:40) 

青Pいつも便利に使わせていただいてます。
数学の問題じゃなくて詭弁でしょう。内側の円の方がゆっくり回ってるだけです。速度×時間=距離の時間に気づかせないようにしてる。自転車のペダルを一回転漕ぐとタイヤも同時に一回転するけれど、ペダルの円周とタイヤの円周は違いますよね。
by (2012-09-02 17:18) 

わかりにくくてすみません。ゆっくり回ってるというのは、円=中心の回転速度は一緒ですけど、そのとき半径が大きい方が円周上の一点は速く移動してるということです。
by (2012-09-02 17:27) 

晶紀

「詭弁であること(矛盾があること)を指摘(数学的に証明)せよ」という問題なので、詭弁でなければ問題として成立しないと思いますよ。

円周上の点の速度が違うという話、円の中心点が移動しないのならば、その通りなのですが、中心点は横に移動しているので厄介な事になってます。
円周上の点の軌跡(カマボコ状になる)については自分も考えたことがあるのですが、円周上の点の軌跡と円周の関係が分からず詰まりました。

by 晶紀 (2012-09-03 20:46) 

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